高数极限例题及详解 (求导)
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a = [f''(0)]/2;b = f'(0);c = f(0)
----------------
解析:
令 g(x) = ax^2 + bx + c;
则 g'(x) = 2ax + b
g''(x) = 2a
二阶可导,即二阶导数存在,因此:
f''(0) = lim(x→0) [g''(x)] = 2a
a = [f''(0)]/2
因为二阶导数存在,所以一阶导数 [存在] 且 [连续],因此:
f'(0) = lim(x→0) [g'(x)] = b
因为一阶导数存在,所以原函数 [连续],因此:
f(0) = lim(x→0) [g(x)] = c
所以 g(x) = [f''(0)]*(x^2)/2 + f'(0) + f(0)
----------------
解析:
令 g(x) = ax^2 + bx + c;
则 g'(x) = 2ax + b
g''(x) = 2a
二阶可导,即二阶导数存在,因此:
f''(0) = lim(x→0) [g''(x)] = 2a
a = [f''(0)]/2
因为二阶导数存在,所以一阶导数 [存在] 且 [连续],因此:
f'(0) = lim(x→0) [g'(x)] = b
因为一阶导数存在,所以原函数 [连续],因此:
f(0) = lim(x→0) [g(x)] = c
所以 g(x) = [f''(0)]*(x^2)/2 + f'(0) + f(0)
追问
求c还是没懂
追答
F(x) 二阶可导,
所以一阶也可导,
即一阶导数存在,
所以 F(x) 必须 [处处连续],不能有断点;
因此 F(x) 在 x=0 处连续:
所以 [当 x 趋近于 0 时,F(x) 的左极限与右极限相等,这是 "连续" 的定义]
当 x 趋近于 0 ,
左极限 = f(0),
右极限 = lim(x→0) [ax^2 + bx + c] = 0+0+c = c
所以 c = f(0)
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