Question

分部积分法求∫(x∧2)e∧(x∧2)dx

Answer 1

原函数不是初等函数
先用分部积分法：∫x^2e(x^2)dx=(1/2)∫xd(e^x^2)=(1/2)xe^(x^2)-(1/2)∫e^x^2dx，这里求∫e^x^2dx，设t=x^2，dx=1/[2t^(1/2)]
原式=∫e^tdt/t^(1/2)
用泰勒展开式e^t=1+t+t^2/2!+t^3/3!+..+t^n/n!
=∫[1/t^(1/2)+t^(1/2)+t^(3/2)/2!+t^(5/2)/3!+..+t^(n-1/2)/n!]dt 逐项积分：
=2t^(1/2)+(2/3)t^(3/2)+(2/5)t^(5/2)/2!+(2/7)t^(7/2)/3!+..+(n+1/2)*t^(n+1/2)/n!+C

所以∫x^2e^(x^2)dx
=(1/2)xe^(x^2)-(1/4)[2*x+(2/3)x^3+(2/5)x^5/2!+(2/7)x^7/3!+..+(n+1/2)x^(2n+1)/n!] +C

Answer 2

解：
∫x²·e^(-x)dx
=∫x²
d[-e^(-x)]
=x²·[-e^(-x)]-∫2x·[-e^(-x)]dx
=-x²·e^(-x)+∫2x·e^(-x)dx
=-x²·e^(-x)-2x·e^(-x)+∫2e^(-x)dx
=-x²·e^(-x)-2x·e^(-x)-2e^(-x)+c
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Answer 3

百鸟朝凤先用分部积分法：∫x^2e(x^2)dx=(1/2)∫xd(e^x^2)=(1/2)xe^(x^2)-(1/2)∫e^x^2dx，这里求∫e^x^2dx，设t=x^2，dx=1/[2t^(1/2)