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设M=0，则f(x)=0，因此f′(x)=0，显然 |f′(ξ)|≥2M成立。
设M>0，则由连续函数的介值定理知，存在一点x0ϵ(0,1)，使 f(x0)=M。由于x0为区间(0,1)的内点，由费马定理得，f′(x0)=0。
当0≤x0≤1/2时，由拉氏中值定理，f(x0)-f(0)=f′(ξ)x0，其中ξϵ(0,1/2)。取绝对值，得
|f(x0)|=|f′(ξ)|x0≤|f′(ξ)|(1/2)，即 |f′(ξ)|≥2M。
当1/2<x0≤1时，由拉氏中值定理，f(1)-f(x0)=f′(ξ1)(1-x0)，其中ξ1ϵ(1/2,1)。取绝对值，得
|f(x0)|=|f′(ξ1)|(1-x0)≤|f′(ξ1)|(1/2)，即 |f′(ξ1)|≥2M。证毕。
设M>0，则由连续函数的介值定理知，存在一点x0ϵ(0,1)，使 f(x0)=M。由于x0为区间(0,1)的内点，由费马定理得，f′(x0)=0。
当0≤x0≤1/2时，由拉氏中值定理，f(x0)-f(0)=f′(ξ)x0，其中ξϵ(0,1/2)。取绝对值，得
|f(x0)|=|f′(ξ)|x0≤|f′(ξ)|(1/2)，即 |f′(ξ)|≥2M。
当1/2<x0≤1时，由拉氏中值定理，f(1)-f(x0)=f′(ξ1)(1-x0)，其中ξ1ϵ(1/2,1)。取绝对值，得
|f(x0)|=|f′(ξ1)|(1-x0)≤|f′(ξ1)|(1/2)，即 |f′(ξ1)|≥2M。证毕。
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