Question

二重积分的证明题

Answer 1

证明：
令：∀x,y∈C [a,b]，且x≤y，则：
x-y≤0
∵f(x)是单调递增函数
f(x)-f(y)≤0
∴(x-y)[f(x)-f(y)]≥0
∴∫∫(σ) (x-y)[f(x)-f(y)]dσ≤0，其中：σ={x,y|a≤x≤b，a≤y≤b}
因此：
∫∫(σ) (x-y)[f(x)-f(y)]dσ
=∫(a,b) xf(x)dx∫(a,b) dy-∫(a,b) xdx∫(a,b) f(y)dy-∫(a,b) ydy∫(a,b) f(x)dx +
∫(a,b) dx∫(a,b) yf(y)dy
=(b-a)∫(a,b) xf(x)dx -[(b²-a²)/2]·∫(a,b) f(y)dy-[(b²-a²)/2]·∫(a,b) f(x)dx+
(b-a)∫(a,b) yf(x)dy
=2(b-a)∫(a,b) xf(x)dx - (b²-a²)∫(a,b) f(x)dx
≥0
又 b-a>0
∴
2∫(a,b) xf(x)dx ≥(a+b)∫(a,b) f(x)dx
(a+b)∫(a,b) f(x)dx ≤ 2∫(a,b) xf(x)dx