求(x+5)/(x²-6x+13)的不定积分
答案是1/2ln(x²-6x+13)+4arctan[(x-3)/2]+C`
具体步骤如下:
将分母整理一下,变成(x-3)²+4,于是设(x-3)²=4tan²t,即x=2tant+3,这时候dx=2sec²tdt
原式=∫(2tant+8)/4sec²t*2sec²tdt=∫(tant+4)dt=-ln|cost|+4t+C
还原,x=2tant+3,所以tant=(x-3)/2,t=arctan[(x-3)/2]借助三角形
可以知道,cost=2/√[(x-3)²+4]=2/√(x²-6x+13)
所以原积分=-ln|2/√(x²-6x+13)|+4arctan[(x-3)/2]+C
借助对数函数性质,ln|2/√(x²-6x+13)|=ln2-1/2ln(x²-6x+13)
所以最后结果是=1/2ln(x²-6x+13)+4arctan[(x-3)/2]+C
扩展资料
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
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