Question

求(x+5)/(x²-6x+13)的不定积分

求(x+5)/(x²-6x+13)的不定积分求这道不定积分的详细过程，谢谢了！

Answer 1

答案是1/2ln(x²-6x+13)+4arctan[(x-3)/2]+C`

具体步骤如下：

将分母整理一下，变成(x-3)²+4，于是设(x-3)²=4tan²t，即x=2tant+3，这时候dx=2sec²tdt

原式=∫(2tant+8)/4sec²t*2sec²tdt=∫(tant+4)dt=-ln|cost|+4t+C

还原，x=2tant+3，所以tant=(x-3)/2，t=arctan[(x-3)/2]借助三角形

可以知道，cost=2/√[(x-3)²+4]=2/√(x²-6x+13)

所以原积分=-ln|2/√(x²-6x+13)|+4arctan[(x-3)/2]+C

借助对数函数性质，ln|2/√(x²-6x+13)|=ln2-1/2ln(x²-6x+13)

所以最后结果是=1/2ln(x²-6x+13)+4arctan[(x-3)/2]+C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C