Question

线性代数：向量组等价和矩阵等价的区别

Answer 1

向量组等价，是两向量组中的各向量，都可以用另一个向量组中的向量线性表示。

矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。

如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。

如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。

由于矩阵的行秩，与列秩相等，就是矩阵的秩，在行列数都相等的情况下，两矩阵等价实际上就是秩相等，反过来，在这种行列数都相等情况下，秩相等，就说明两矩阵等价。

这与向量组等价略有区别：

向量组等价，则两向量组的秩（极大线性无关组中向量个数）相等，但反过来不一定成立，即两向量组的秩相等，不一定能满足两向量组可以相互线性表示。

扩展资料：

向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。需要重点强调的是：等价的向量组秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

等价矩阵

在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。

参考资料：向量组等价_百度百科等价矩阵_百度百科

Answer 2

向量组等价，是两向量组中的各向量，都可以用另一个向量组中的向量线性表示。
矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。

如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。
如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。
由于矩阵的行秩，与列秩相等，就是矩阵的秩，
在行列数都相等的情况下，
两矩阵等价实际上就是秩相等，
反过来，
在这种行列数都相等情况下，秩相等，就说明两矩阵等价。

这与向量组等价略有区别：
向量组等价，则两向量组的秩（极大线性无关组中向量个数）相等，
但反过来不一定成立，即两向量组的秩相等，不一定能满足两向量组可以相互线性表示。

举个简单例子：
向量组
A: (1,0,0)，(0,1,0)
B:（0,0,1），(0,1,0)
两者秩都是2，但不能相互线性表示，因此不是等价的。、

而矩阵：
A:
1 0 0
0 1 0

B:
0 0 1
0 1 0
却是等价的

Answer 3

向量组等价，则他们之间可以相互表示，即存在可逆的过渡矩阵让他们互相转化。即r(AC)=r(B).因为C可逆，则r(A)=r(B).则他们的秩相等 ，但秩相等向量组不一定等价。随意举几个单位向量组就知道了。
当矩阵等价时，存在可逆矩阵相互表示，只要是同型矩阵，秩相等的话，就一定等价。因为秩相等一定可以通过一系列初等变换相互表示，而初等变换不改变秩。
ps 希望能帮到你

Answer 4

如果两个向量组可以相互线性表出 那么他们就是等价的
如果矩阵B可以由A经过一系列初等变换得到 那么矩阵A与B是等价的

Answer 5

行变换是行等价，列变换是列等价