计算三重积分 ∭ Ω (x2+y2+z2)dv,其中Ω是由x2+y2+z2=1所围成的闭球体
∭
Ω
(x2+y2+z2)dv,其中Ω是由x2+y2+z2=1所围成的闭球体以前做的都是两个图形围成的闭区域,一个图形不懂了,能不能画一下图 展开
∭ Ω (x2+y2+z2)dv等于4π/5。
解:把x2+y2+z2=1所围成的闭球体Ω换算为极坐标,
那么Ω={(r,φ,θ)|0≤θ≤2π,0≤φ≤π,0≤r≤1}。
则∭ Ω (x2+y2+z2)dv
=∫(0,2π)dθ∫(0,π)sinφdφ∫(0,1)r^4dr
=2π*2*1/5
=4π/5
即三重积分 ∭ Ω (x2+y2+z2)dv等于4π/5。
扩展资料:
三重积分的计算方法
1、直角坐标系法
适用于被积区域Ω不含圆形的区域,且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法。
(1)先一后二法投影法,先计算竖直方向上的一竖条积分,再计算底面的积分。
(2)先二后一法(截面法),先计算底面积分,再计算竖直方向上的积分。
2、柱面坐标法
适用被积区域Ω的投影为圆时,依具体函数设定,如设
x^2+y^2=a^2,x=asinθ,y=bsinθ。
区域条件:积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合。
函数条件:f(x,y,z)为含有与x^2+y^2相关的项。
3、球面坐标系法
适用于被积区域Ω包含球的一部分。
区域条件:积分区域为球形或球形的一部分,锥面也可以。
函数条件:f(x,y,z)含有与x^2+y^2+z^2相关的项。
参考资料来源:百度百科-三重积分