求微分方程的一般解和特殊解
3个回答
展开全部
(1)两边对x求导,得
y'=y'+xy''+y''+2y'y''
可以发现方程化成了y''=f(x,y')的形式
y''(x+1+2y')=0
当x+1+2y'=0时,解得y=-1/4*(x+1)²+C
当y''=0时,解得y=C1x+C2.但
y'=C1,代入原方程中得C1x+C2=C1x+C1+C1²,∴C2=C1+C1²
∴解为y=Cx+C+C²
(2)当x>0时,作换元x=e^t,或t=lnx,则
dy/dx=dy/dt*dt/dx=1/x*dy/dt
d²y/dx²=-1/x²*dy/dt+1/x*d²y/dt²*dt/dx=1/x²*(d²y/dt²-dy/dt)
∴x²*y''=d²y/dt²-dy/dt,x*y'=dy/dt
代入原方程,得d²y/dt²-2dy/dt-8y=e^(2t)
对应的齐次方程为d²y/dt²-2dy/dt-8y=0,解得y0=C1e^(4t)+C2e^(-2t)
右边是e^(2t),故可设特解为Y=ke^(2t),则Y'=2ke^(2t),Y''=4ke^(2t)
∴4ke^(2t)-4ke^(2t)-8ke^(2t)=e^(2t)
k=-1/8,即Y=-1/8*e^(2t)
∴原方程的通解为C1e^(4t)+C2e^(-2t)-1/8*e^(2t)
又t=lnx,代入上式得通解y=C1x^4+C2x^(-2)-x²/8
y'=y'+xy''+y''+2y'y''
可以发现方程化成了y''=f(x,y')的形式
y''(x+1+2y')=0
当x+1+2y'=0时,解得y=-1/4*(x+1)²+C
当y''=0时,解得y=C1x+C2.但
y'=C1,代入原方程中得C1x+C2=C1x+C1+C1²,∴C2=C1+C1²
∴解为y=Cx+C+C²
(2)当x>0时,作换元x=e^t,或t=lnx,则
dy/dx=dy/dt*dt/dx=1/x*dy/dt
d²y/dx²=-1/x²*dy/dt+1/x*d²y/dt²*dt/dx=1/x²*(d²y/dt²-dy/dt)
∴x²*y''=d²y/dt²-dy/dt,x*y'=dy/dt
代入原方程,得d²y/dt²-2dy/dt-8y=e^(2t)
对应的齐次方程为d²y/dt²-2dy/dt-8y=0,解得y0=C1e^(4t)+C2e^(-2t)
右边是e^(2t),故可设特解为Y=ke^(2t),则Y'=2ke^(2t),Y''=4ke^(2t)
∴4ke^(2t)-4ke^(2t)-8ke^(2t)=e^(2t)
k=-1/8,即Y=-1/8*e^(2t)
∴原方程的通解为C1e^(4t)+C2e^(-2t)-1/8*e^(2t)
又t=lnx,代入上式得通解y=C1x^4+C2x^(-2)-x²/8
追答
漏了x<0的情况，但类似可求
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
