Question

求解高数。。

Answer 1

求微分方程 y''-5y'+6y=x²e^(2x)的通解
解：齐次方程 y''-5y'+6y=0的特征方程r²-5r+6=(r+1)(r-6)=0的根 r₁=-1, r₂=6
因此齐次方程的通解为y=c₁e^(-x)+c₂e^(6x)
设原方程的特解为y*=(ax³+bx²+cx+d)e^(2x)
y*'=(3ax²+2bx+c)e^(2x)+2(ax³+bx²+cx+d)e^(2x)
=[2ax³+(3a+2b)x²+(2b+2c)x+c+2d]e^(2x)
y*''=[6ax²+2(3a+2b)x+2b+2c]e^(2x)+2[2ax³+(3a+2b)x²+(2b+2c)x+c+2d]e^(2x)
=[4ax³+(12a+4b)x²+(6a+8b+4c)x+2b+3c+2d]e^(2x)
将y*，y*'，y*''代入原式，然后按对应项系数相等的原则求出系数a、b、c、d，便得y*;

原方程的通解即为 y=c₁e^(-x)+c₂e^(6x)+y*.