Question

判断：两个函数极限都不存在,两个函数相加极限一定不存在（请举出例子）

Answer 1

是可能存在的，但是并不一定存在。

判断极限是否存在的方法是：分别考虑左右极限。

极限存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等。

用数学表达式表示为：

极限不存在的条件：

1、当左极限与右极限其中之一不存在或者两个都不存在；

2、左极限与右极限都存在，但是不相等。

几何意义：

1、在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点。

2、所有其他的点xN+1，xN+2，（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间（a-ε，a+ε）之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

Answer 2

是可能存在的，但是并不一定存在。
楼主所说的问题，其实就是不定式的问题。
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1、两个函数的极限都是正无穷大，也就是各自都不存在；
但是它们的差值，有可能是一个固定的常数，有可能不存在。
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2、两个函数的极限是无穷大，它们的商的极限可能是常数，
也可能不存在。
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3、两个函数各自的极限不存在，它们的积的极限，也是有可能存在的。
例如：x 趋向于 0 时，sin(1/x)，csc(1/x)；
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Answer 3

可能存在也可能不存在，比如1/x+(-1/x)当x→0时，极限就存在。
另外地，当两个函数f,g极限均不存在时，则他们的和的极限f+g,差的极限f-g要么都存在，要么只能存在一个，不可能f+g和f-g都存在。

Answer 4

相加后极限不存在,这个是可以证明的,建议采用反证法
不过相乘就难说了,我给你看两个例子：
1.相乘存在：函数1：y=n,函数2:y=1/n^2
两个相乘后在n趋向无穷的时候极限为0
2.相乘不存在：函数1：y=n^2,函数2：y=1/x
两个相乘后在n趋向无穷的时候极限不存在