√(ⅹ+1)+√x的单调区间
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解f(x)=√（x^2+1)-x,定义域为R
设x1＜x2
则f（x1）-f（x2）
=[√(x1^2+1)-x1]-[√(x2^2+1)-x2]
=1/[√(x1^2+1)+x1]-1/[√(x2^2+1)+x2]
=[[√(x2^2+1)+x2]-[√(x1^2+1)+x1]]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]
=[[√(x2^2+1)-√(x1^2+1)]+(x2-x1)]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]
=[（x2^2-x1^2)/[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]+(x2-x1)]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]
=(x2-x1)[（x2+x1)/[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]+1]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]
=(x2-x1)[（x2+x1)/[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]+[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]/[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]
=(x2-x1)[（x2+√(x2^2+1)+x1+√(x1^2+1))/[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]
注意到x2+√x2^2+1＞0,x1+√x1^2+1＞0
知（x2+√x2^2+1）+（x1+√x1^2+1）＞0
又由x1＜x2,即x2-x1＞0
即(x2-x1)[（x2+√(x2^2+1)+x1+√(x1^2+1))/[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]＞0
即f（x1）-f（x2）＞0
即
函数F（X)=[根号（X²+1)]-X是减函数
知函数的减区间为R.
设x1＜x2
则f（x1）-f（x2）
=[√(x1^2+1)-x1]-[√(x2^2+1)-x2]
=1/[√(x1^2+1)+x1]-1/[√(x2^2+1)+x2]
=[[√(x2^2+1)+x2]-[√(x1^2+1)+x1]]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]
=[[√(x2^2+1)-√(x1^2+1)]+(x2-x1)]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]
=[（x2^2-x1^2)/[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]+(x2-x1)]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]
=(x2-x1)[（x2+x1)/[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]+1]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]
=(x2-x1)[（x2+x1)/[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]+[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]/[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]
=(x2-x1)[（x2+√(x2^2+1)+x1+√(x1^2+1))/[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]
注意到x2+√x2^2+1＞0,x1+√x1^2+1＞0
知（x2+√x2^2+1）+（x1+√x1^2+1）＞0
又由x1＜x2,即x2-x1＞0
即(x2-x1)[（x2+√(x2^2+1)+x1+√(x1^2+1))/[√(x2^2+1)+√(x1^2+1)]]/[√(x1^2+1)+x1][√(x2^2+1)+x2]＞0
即f（x1）-f（x2）＞0
即
函数F（X)=[根号（X²+1)]-X是减函数
知函数的减区间为R.
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