Question

求下列级数在收敛区间上的和函数。

Answer 1

级数为∑x^(n+1)/n(n+1)
n从1到∞
设Un=x^(n+1)/n(n+1)
Un+1=x^(n+2)/(n+1)(n+2)
lim n→∞ |Un+1/Un|
=lim |[x^(n+2)/(n+1)(n+2)]/[x^(n+1)/n(n+1)]|
=lim |x|*n/(n+2)
=|x|＜1
所以收敛区间为(-1，1)
求和函数
先逐项求导
S=∑x^(n+1)/n(n+1)
S'=∑[x^(n+1)/n(n+1)]'=∑x^n/n
S''=∑x^(n-1)=1+x+x²+……
等比无穷级数求和
=1/(1-x)
再逐项积分
S'=-ln(1-x)
再积分得
S=-(x-1)ln(1-x)+x

追问

对了，那个收敛区间为啥不是闭区间[-1,1]

追答

我没算收敛域，你说的是收敛域，不是收敛区间。

追问

由-ln（1-x）怎么在积分到-（x-1）ln（1-x）+x啊，这是不是有啥公式啊

追答

∫ln(1-x)dx
=-∫ln(1-x)d(1-x)
=(x-1)ln(1-x)+∫-(1-x)dx/(1-x)
=(x-1)ln(1-x)-∫dx
=(x-1)ln(1-x)-x +C

前面再加个负号

分部积分法

追问

求和函数时就是要先把式子求导成等比数列然后就算出该求导的数列和，最后对这个数列n项和积分即可。可以这么理解嘛

追答

有些是先积分后求导的

具体题目具体分析

我说不出一个定论

有些直接等比数列求和，有些直接套用幂级数公式

比如像ln(1-x)，e^x这种的幂级数展开式，你可以背出来，考试直接用

追问

谢谢学霸*罒▽罒*