求过两点M1（1,1,1）和M2（0,1,-1），且垂直于平面x+y+z=0的平面方程。 10
结果为：2x-y-z=0
解题过程如下：
解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0
∵过点M1，M2
∴有A+B+C+D=0和B-C+D=0
所求平面垂直于已知平面，即两平面的法向量相互垂直
∴A+B+C=0
解得D=0，B=-A/2，C=-A/2
取A=2
则B=C=-1，D=0
∴平面方程为2x-y-z=0
扩展资料
求平面方程的方法：
在空间坐标系内，平面的方程均可用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示。
由于平面的点法式方程A(x-x0)+B(y-y)+C(x-x)=0是x,y,x的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。
设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1 。它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。
三点求平面可以取向量积为法线，任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0，两平面平行或重合相当于A1/A2=B1/B2=C1/C2。
点到平面的距离=abs(Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2+B^2+C^2) 求解过程:面内外两点连线在法向量上的映射Prj(小n)(带箭头P1P0)=数量积。
解法一：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0。
它过点M1，M2，即有A+B+C+D=0和B-C+D=0。所求平面垂直于已知平面，即两平面的法向量相互垂直，于是A+B+C=0，从而解得D=0，B=-A/2，C=-A/2。取A=2，则B=C=-1，D=0。所求平面方程为2x-y-z=0。
解法二：设所求平面的法向量为n。
n垂直于已知平面的法向量n1=（1，1，1），也垂直于所求平面上的向量M1M2=（-1，0，-2），于是n=M1M2 × n1=（2，-1，-1）(向量叉乘)。根据平面的点法式方程，得所求平面的方程2（x-1）-（y-1）-（z-1）=0，即2x-y-z=0。
说明（1，1，1）+（1，1，1）=（2，2，2）在所求平面上。
变成三点求平面
