Question

求下列微分方程满足所给条件的特解

Answer 1

求微分方程 (y2-3x2)dy+2xydx=0满足y(0)=1的特解。解：两边同除以x2，得[(y/x)2-3]dy+2(y/x)dx=0 令y/x=u，得 (u2-3)dy+2udx=0; dy/dx=-2u/(u2-3)............(1); y=ux；dy/dx=x(du/dx)+u..........(2) 将(2)代入(1)式得：x(du/dx)+u=-2u/(u2-3) x(du/dx)=-2u/(u2-3)-u=(-u3+u)/(u2-3) 分离变量得：[(u2-3)/(-u3+u)]du=dx/x 积分之得lnx=-∫[(u2-3)/(u3-u)]du=-∫[(3/u)-1/(u-1)-1/(u+1)]du =-[3lnu-ln(u-1)-ln(u+1)]+lnc=-ln[u3/(u2-1)]+lnc=ln[c(u2-1)/u3] 故x=c(u2-1)/u3；于是得通解为y=ux=c(u2-1)/u2=c[(y/x)2-1]/(y/x)2=c(y2-x2)/y2 将初始条件y(0)=1代入得 c=1; 故满足初始条件的特解为： y=(y2-x2)/y2，或写成 y3-y2+x2=0.