Question

极限计算里，哪些情况不能用等价无穷小？

极限计算里，哪些情况不能用等价无穷小？极限拆开运算，被拆开的两个极限必须都存在，才可使用等价无穷小是什么意思？
一个是0，另一个是常数呢？
一个是0另一个是有界函数呢？
一个是常数另一个是有界函数呢？

Answer 1

第一二问是可以的，最后一问，好像没有无穷小的事。
f、与g的极限都存在，才能进行极限的运算：
设f的极限为A，g的极限是B，
则
limf±limg=A±B
limf×limg=A.B
limf/limg=A/B，（B≠0）；
（limf）^m=A^m,m是常数；
如果A是无穷小，B是无穷大，成为0*∞不定式，其值是不确定的，可以化成0/0型（0/（1/∞））或者∞/∞（∞/（1/0）），用洛必达法则。
另外1^∞，也是不定式，取对数成为ln（1^∞）=∞ln1=∞.0，不定。这里1是某个极限为1的变量（函数），不是指常数1.

其实，这条规则可以灵活运用：
（1）可以把∞看成极限，进行运算，只要注意上面的说的几点不确定的情况的处理；1/∞=0,1/0=∞，这里0指无穷小；
（2）极限不存在，有一种特殊情况，是有界，但是循环变化，如1，-1,1，-1，...；sin（1/x），x-->0，等等。有界，可以通过夹逼法求解，如果夹逼法无解，一般结果也无解。如果把“不存在但是有界”也当成一种结果。
比如，上面的A存在，B是“不存在但是有界”；
则

limf±limg=A±B，“不存在但是有界”
limf×limg=A.B，A≠0，“不存在但是有界”；A=0,0；
limf/limg=A/B，（B≠0）；A≠0，“不存在”；A=0，B≠0,0；
进行这些灵活变化之后，其实极限运算，可以扩大应用范围。但是，经过严格证明的极限运算规则，还是要两个极限都存在这个大前提的。
其他情况的运算，虽然原则上是可以的，但是需要自己去讨论、证明，不是现成的理论、规则。一般也不是总是正确的。
结论：极限运算规则+洛必达法则+夹逼法+原始极限定义证明法，可以解决所有的极限问题。最后的一项，是万能的。是其他方法的理论基础。

Answer 2

极限拆开运算，被拆开的两个极限必须都存在，才可使用等价无穷小
就是分开的2个极限必须不能为无穷大，都为常数