Question

数学概率与统计问题

我设计了一个游戏，系统会随机生成一个长度为n的单词（全部由大写字母组成，且每一位字母从A-Z的概率相同），游戏会告诉玩家单词的长度，同时玩家只能猜这个长度的单词，每猜一次，游戏会告诉玩家猜测的结果。结果如下（假设生成了单词DCBA）a.若在这个单词中猜测的字母存在且位置正确则显示该字母（猜DZZZ 显示 D***）b.若在这个单词中猜测的字母存在但位置不正确则显示+（猜DZZC 显示D**+)c.若在这个单词中猜测的字母不存在显示*（猜ZZZZ 显示****）假如我要让A%的人能通过游戏，那么我应该设置玩家能猜多少次？

Answer 1

以下是粗略的分析，再说一遍，是粗略的。
因为考虑到是人在猜数，而且是面向普通玩家，而不是专门研究算法的，所以n应该比较小，不然人的耐心就耗尽了，没几人能玩下去；另外绝大多数人都不会反复去优化复杂解法，只是逐步简化。
基于以上情况，做以下分析：
以下以“正确”表示字母存在且位置正确，“半对”表示字母存在但位置不正确，“错误”表示字母不存在。
每猜一次，其中的一位被正确猜中的几率是1/26，错误的几率是1-n/26，所猜n个字母全错的几率是(1-n/26)^n，如此猜测k次全错的几率为(1-n/26)^(n+k)，一旦出现半对的情况，则再用n/2次即可准确确定n个字母中的一个。阶段性小结一下就是：经过n/2+k次猜测，有1-(1-n/26)^(n+k)的几率准确完成一个字母，依此推算后续n-1个字母、n-2个字母的情况，当然这里忽略了在完成n字母中第一个字母时，已经为后续字母提供了一些有用的信息。
建议题主简单估算一下，设定一个初值，然后借鉴贝叶斯方法，来根据实际运行情况对游戏的参数做微调，甚至分级。例如5个字母，先设置为猜20次，发现只有10%的玩家完成游戏，而你希望的是有30%的玩家能通过游戏，于是把可尝试次数增加到28次，如此逐步优化参数，比精确计算更具有实际意义