Question

1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M.

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M.
（1）求此抛物线的解析式和对称轴；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）对称轴x=（1+5）÷2=3，

设解析式y=a（x-1）（x-5）=ax²-6x+5a，a≠0，

所以5a=4，a=0.8，

y=0.8x²-6x+4，

（2）

存在，因为B（1,0）关于对称轴x=3的轴对称点是C（5,0），

所以PB=PC，

又因为AB长度固定，

所以如果△PAB周长最小，即PA+PB=PA+PC最小，即P、A、C三点共线时最小，

AC解析式x/5+y/4=1，即y=-0.8x+4，

代入x=3，y=1.6，所以P（3,1.6），

（3）

Answer 2