Question

求出下列微分方程的通解 1.dy/dx+2xy=4x 2.y'+ ycosx= e^-sinx

求出下列微分方程的通解
1.dy/dx+2xy=4x
2.y'+ ycosx= e^-sinx
求过程，谢谢

Answer 1

求出下列微分方程的通解
1. dy/dx+2xy=4x
2. y'+ ycosx= e^(-sinx)
解：1. dy/dx+2xy=4x
先求齐次方程 dy/dx+2xy=0的通解：
分离变量得：dy/y=-2xdx；积分之得：lny=-x²+lnc₁；故y=c₁/e^(x²).........①
将①中的c₁换成x的函数u，得 y=u/e^(x²).........②
对②取导数得：dy/dx=[u'e^(x²)-2xue^(x²)]/e^(2x²)=(u'-2xu)/e^(x²)...........③
将②和③代入原式并化简得：u'=4xe^(x²)；故u=4∫xe^(x²)dx=2∫e^(x²)d(x²)=2e^(x²)+c；
代入②式即得通解为：y=[2e^(x²)+c]/e^(x²)=2+ce^(-2x);
2. y'+ ycosx= e^(-sinx)
先求齐次方程 y'+ycosx=0的通解：
分离变量得：dy/y=-cosxdx；积分之得 lny=∫(-cosx)dx=-sinx+lnc₁；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(-sinx)..........①；
将c₁换成x的函数u，得y=ue^(-sinx)...........②;
对②取导数得：y'=u'e^(-sinx)-ucosxe^(-sinx)............③
将②和③代入原式并化简得：u'=1，即u=∫dx=x+c;
代入②式即得原方程的通解为：y=(x+c)e^(-sinx);