Question

当a=______时，函数f(x)=(x+a)(|x-5-a|+|x+3|)-2x+4a的图像有对称中心。

Answer 1

关于某点x=b中心对称，则：
f(b+c)=-f(b-c),其中c属于R；
f(b+c)=(b+c+a)(|b+c-5-a|+|b+c+3|)-2(b+c)+4a
f(b-c)=(b-c+a)(|b-c-5-a|+|b-c+3|)-2(b-c)+4a
(b+c+a)(|b+c-5-a|+|b+c+3|)-2(b+c)+4a+(b-c+a)(|b-c-5-a|+|b-c+3|)-2(b-c)+4a=0
(b+c+a)(|b+c-5-a|+|b+c+3|)-2(b+c)+(b-c+a)(|b-c-5-a|+|b-c+3|)-2(b-c)+4a=0
如果f(b)有意义，则必有f(b)=0:
f(b+c)=-f(b-c),令c=0，f(b)=-f(b),∴f(b)=0;
f(b)=(b+a)(|b-5-a|+|b+3|)-2b+4a=0

追答

这是通用解法，对于本题很难。用分段法求解。

图像左端是开口向下的抛物线，中间是直线，右边是开口向上的抛物线。直线只能与直线对称，抛物线只能与抛物线对称，因此，对称中心x=b必为直线段的中点。b=（一3十5十a）/2=（2十a）/2，与齐函数不同，f（b）不一定是0。

直线段关于中点对称，必然正确，只能根据抛物线的对称，求出a

右侧抛物线方程求错了，应该是