Question

一道高数题，我能否先得出g（x）的连续性和lim x→0 g'(x)，从而根据导数极限定理

得出g'(0)的值，以及导函数连续呢

Answer 1

这个题目x出现在两个位置上，都是复合函数，而且作为积分上限的还是x的函数，只能根据“定积分=原函数上下限的值得差”的关系，得出原函数之后，再利用求导的方法求出来。
积分变量是t，可以将x当做常数来积分。
先换元，u=x²t，t=0~sinx，u=x²t=0~x²sinx，积分上下限据此修改。
设f(u)的原函数是F（u），则：
g(x)=（1/x²）[F(x²sinx）-F（0）]
除了x=0，g（x）连续，
定义g(0)=(limx->0)（1/x²）[F(x²sinx）-F（0）]
=(limx->0)f(x²sinx）（2xsinx+x²cosx）/2x
=(limx->0)（2sinx+xcosx）=0
则g(x)连续；
然后用复合函数求导法求导，
g'(x)=（-2/x³）[F(x²sinx）-F（0）]+（1/x²）F'(x²sinx）（2xsinx+x²cosx）
=（-2/x³）[F(x²sinx）-F（0）]+（1/x²）f(x²sinx）（2xsinx+x²cosx）
定义g'(0)=-2(limx->0)[F(x²sinx）-F（0）]/x³+(limx->0)f（0）（2xsinx+x²cosx）/x²
=-2(limx->0)[F’(x²sinx）（2xsinx+x²cosx）]/3x²+(limx->0)f（0）（2xsinx+x²cosx）/x²
=（1/3）(limx->0)f（0）（2x²+x²cosx）/x²
=（1/3）(limx->0)2（2+cosx）
=(1/3)×6
=2
则，g'(x)连续。

f(x)连续，则原函数必然连续。

其中sinx与x是等价无穷小，求极限时可以互相替代.这样表述，可能清楚一点。