Question

高等数学，这个积分怎么求？

Answer 1

在积分范围内，对于任何 y，可以看出绕 x = 3a 旋转一周后，得到是一个圆环。这个圆环的外周距离就是原来的圆左外侧 到直线 x = 3a 的距离。即：
x - a = -√(a²-y²)，即 x = a - √(a²-y²)
r1 = 3a - x = 3a - a + √(a²-y²) = 2a + √(a²-y²)
这个圆环的内圈到直线 x = 3a 的距离 就是积分范围内直线 y = x 到直线 x = 3a 的距离：
r2 = 3a - y

那么，在很小的高度 dy 范围内，可以把这个微元的体积 dV 当作一个圆环柱体，它等于这个圆环的面积 S 与 dy 的乘积。所以有：
dV = π×[(r1)² - (r2)²] ×dy
= π×{[2a+√(a²-y²)]² - (3a-y)²} ×dy
= π×{[4a²+4a×√(a²-y²) +(a²-y²)] - (9a² -6ay +y²)}×dy
= π×[4a√(a²-y²) +6ay - 2y² -4a²]×dy

Answer 2

对余弦的4次方利用二倍角的余弦公式降次。

追答

更正：正弦的4次方，

追问

我想利用奇偶性对称性那种

追答

追问

这个题能不能等于2倍的（0，π/2）的积分来做，这样就大大简单了

你看一下第14个

追答

能用你说的那个公式做，但是用这个公式将积分区间变短后，还得用余弦的二倍角公式进行降幂处理才能求解。

追问

我自己弄出来了，相互学习吧