Question

设n阶矩阵A²＝A 求证R(A)＋R(A－I)＝n

高数 大一 线性代数

Answer 1

A^2=E 则 (E-A)(E+A)=E-A^2=0 则E+A的列向量，都是(E-A)X=0的解 而此方程解空间的秩是n-R(E-A) 因此R（E+A） ≤n-R(E-A) 则R(E-A) + R（E+A）≤n 【1】 而R(E-A) + R（E+A）≥R(E-A + E+A) =R(2E) = n【2】 由【1】【2】，可得 R（E-A）+R(E+A)=n

Answer 2

A是幂等矩阵
毕