Question

对坐标的曲面积分，Σ为球面x²＋y²＋z²＝a²的外侧，则∫∫Σydxdy＝

Answer 1

被积曲面关于xOy对称,被积函数关于z是奇函数,根据第二类曲面积分的对称性原理
原式=2∫∫xy√1-x²-y²dxdy (其中,被积区域为x²+y²=1,x,y≥0)
原式=2∫[0->π/2]∫[0->1]r³√1-r²drdθ=(π/2)∫[0->1]r²√1-r²dr²
=(π/2)[∫[0->1]√1-r²dr²-∫[0->1](1-r²)√1-r²dr²]
=(π/2)[(-2/3)(1-r²)^(3/2) | [0->1] - (-2/5)(1-r²)^(5/2) | [0->1] ]
=2π/15

Answer 2

D是∑在xOy平面的投影，方程为x^2+y^2=4 ∫∫[∑] x^2dxdy=∫∫[D] x^2dxdy 由轮换对称性有∫∫[D] x^2dxdy=∫∫[D] y^2dxdy 所以∫∫[D] x^2dxdy=(1/2)∫∫[D] x^2+y^2dxdy=(1/2)∫[0->2π]∫[0->2] r^3 drdθ=4π

追问

你写的跟我问的不一样