Question

一个线性代数的题

一个线性代数的题 n阶矩阵 A B 若A和B相似 则存在正交矩阵Q 使得Q的逆乘AQ=Q的转置乘以AQ=B 这个命题为什么不对？

Answer 1

A和B相似，则存在可逆矩阵P，使得(P^-1)AP=B。但并不能说明P是正交阵。例如B为对角阵时，P由A的特征向量拼成，但这些特征向量并不一定正交，所以并不一定能找到正交阵使得(P^-1)AP=B。

追问

那如果把可逆矩阵P的向量正交化再单位化后不就可以得到一个正交矩阵使Q的逆乘AQ=B了吗？

那如果把可逆矩阵P的向量正交化再单位化后不就可以得到一个正交矩阵使Q的逆乘AQ=B了吗？

追答

正交化只能对同一个特征值的特征向量才可以做。不同特征值的特征向量无法做正交化（不同特征值的特征向量的线性运算一般不是特征向量）

追问

那如果把可逆矩阵P的向量正交化再单位化后不就可以得到一个正交矩阵使Q的逆乘AQ=B了吗？

追答

刚才已经说了，正交化做出来不一定是特征向量，得出的矩阵就不一定满足相似的要求。

追问

有具体的例子吗？

好吧我明白了，如果有具体的例子就好了

我加你好友吧以后有题问你，数学方面的

追答

简单的例子是下面的二阶矩阵，你可以自己算算看，特征向量正交化后就不满足相似等式了。
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我只在空闲时间在知道答题，你直接在知道提问，有许多人愿意帮你的，我看到的话也会回答。

追问

好吧明白了。一般矩阵相似于对角阵并不一定有正交阵。而实对称矩阵才必有正交阵。

好吧明白了。一般矩阵相似于对角阵并不一定有正交阵。而实对称矩阵才必有正交阵。

Answer 2

A，B相似，这个转换矩阵Q是必须满足特定条件的，不是你想正交化就可以正交化的
Q的正交化矩阵不能把A转换成B