Question

设f(x)在[0,2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且|f'(x)|≤2.

证明：|∫ 0 2 f(x)dx|≤2

这里的思路是用微分中值定理，证出|fx|分别在0~x，x~2内分别小于2x和2(2-x)，在通过分解定积分上下限代入求解，这里有一个疑惑，为什么分解的上下限要取上下限的中间值，这样取仅仅是减少误差吗？求解?

Answer 1

定义函数g(x)=f(x)^2-x^2, g(2)=g(0)=0, g(x)在[0,2] 上连续, (0,2)上可导, 所以在(0，2)内至少存在一点ξ,使得g'(ξ)=0, 即2f'(ξ)f(ξ)=2ξ,即f'(ξ)=ξ/f(ξ)

Answer 2

是为了凑出最后要证明的结果值2

追问

我一开始也这样想过，取0~1/2和1/2~2完全算不出小于2，只能小于2.25，难道这种取法看来只能用凑这种解释吗😂

追答

就是为了凑呀，你也可以把这个数设为t，然后算出t
∫(0,t)2xdx+∫(t,2)2(2-x)dx=2
x^2|(0,t)+(4x-x^2)|(t,2)=2
t^2+8-4-4t+t^2=2
t^2-2t+1=0
t=1

追问

我算了，它是这样的，设t求解后2t^2-4t+4，这是关于结果的函数，而t∈(0,2)，在这个区间内这个函数的值在2~4内浮动，由于这个积分不管怎么取肯定会大于|fx|的积分，所以只需要根据题目要求把2代入求的t=1,此时正好是该结果函数的最小值，也就是说只要把题目里的值代入方程只要能求到t值就能说明等式成立了(不管题目给什么值只要函数最小值小于它那么就成立的)！所以不能算是凑，还是有道理的

追答

凑也是有技巧的，这算是技巧吧

Answer 3

这个应该是用一个符号代替1，然后算出积分结果的4-4x＋2x∧2，小于就要小于最小值，当x=1取最小值为2.