Question

求大佬解决一个数学证明问题

已知x1+x2+x3=常数，y=kx+b（k，b，x1，x2，x3都为正值）
证明：当x1=x2=x3的时候，x1*y1+x2*y2+x3*y3的值为最小值

Answer 1

x1+x2+x3=常数c，y=kx+b（k，b，x1，x2，x3都为正值）
x1*y1+x2*y2+x3*y3
=x1*(kx1+b)+x2*(kx2+b)+x3*(kx3+b)
=k(x1^2+x2^2+x3^2)+b(x1+x2+x3)
>=k(x1+x2+x3)^2/3+b(x1+x2+x3)
=kc^2/3+bc
当且仅当x1=x2=x3等号成立，
所以，当x1=x2=x3的时候，x1*y1+x2*y2+x3*y3的值为最小值kc^2/3+bc

追问

=k(x1^2+x2^2+x3^2)+b(x1+x2+x3)
>=k(x1+x2+x3)^2/3+b(x1+x2+x3)
大佬这步没看懂啊，能不能讲一下

追答

3(x1^2+x2^2+x3^2)-(x1+x2+x3)^2
=2x1^2+2x2^2+2x3^2-2x2x3-2x3x1-2x1x2
=(x2-x3)^2+(x3-x1)^2+(x1-x2)^2>=0

追问

非常感谢