Question

√(1-x²)/x的不定积分是什么?

Answer 1

令a=1就行，详情如图所示

Answer 2

设x=sina，dx=cosada
代入：
∫√(1-x²)/x.dx
=∫√(1-sin²a)/sina.cosada
=∫cos²a/sina.da
=∫（1-sin²a）/sina.da
=∫1/sina.da-∫sina.da
=∫1/sina.da+cosa+C
万能转换：
设t=tan（a/2）
a=2arctant，da=2/（1+t²）.dt
sina=2t/（1+t²）
代入
=∫（1+t²）/2t.2/（1+t²）.dt+cosa+C
=∫1/t.dt+cosa+C
=lnt+cosa+C
回代：
cosa=√（1-sin²a）=√（1-x²）
t=tan（a/2）=sin（a/2）/cos（a/2）
=√[2sin²（a/2）/2cos²（a/2）]
=√[（1-cosa）/（1+cosa）]
=√[（1-cosa）²/（1-cos²a）]
=（1-cosa）/sina
=[1-√（1-x²）]/x
积分=ln[1-√（1-x²）]-lnx+√（1-x²）+C

Answer 3

x=sint→dx=costdt
原式=∫[√(1-sin²t)/sint]·costdt
=∫(cost/sint)dt
=∫(cos²t/sint)dt
=∫[(1-sin²t)/sint]dt
=∫dt/sint-∫sintdt
=½ln|(1-cost)/(1+cost)|+cost+C
=½ln|[1-√(1-x²)]/([1+√(1-x²))|+√(1-x²)+C
=½ln|[(2-x²-2√(1-x²)]/x²|+√(1-x²)+C