如何用二重积分求这个体积?

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jryboyc
2019-10-29 · TA获得超过211个赞
知道小有建树答主
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为什么要用二重积分计算,做积分也要先确定积分上下限,这个题目知道上下限,就直接有了结果啊

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zhangsonglin_c
高粉答主

2019-10-29 · 醉心答题,欢迎关注
知道大有可为答主
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体积下面是倒圆锥,上面是球缺,两个体积相加。
设r²=x²+y²,用球坐标。
交线是圆,z=rcotβ,r=ztan²β;r²+z²-2az=0
求得:
z=2acos²β,r=asin2β
圆锥高2acos²β,底半径asin2β;
球缺高H=2a-2acos²β=2asin²β;球半径a,V=(π/3)(3a-H)H²;
两个体积相加。
积分法,可以选r~r+dr间部分,z=rcotβ~z=a+√(a²-r²)的环形柱体:
∫(0,asin2β)2πr[a+√(a²-r²)-rcotβ]dr
=∫(0,asin2β)2πr[a+√(a²-r²)]dr-∫(0,asin2β)2πr²cotβdr
=π∫(0,asin2β)[a+√(a²-r²)]dr²-(2πcotβ/3)r³|(0,asin2β)
=π[ar²-(2/3)(a²-r²)^(3/2)]|(0,asin2β)-(2πcotβ/3)a³sin³2β
=π[a³sin²2β-(2/3)[(a²-a²sin²2β)^(3/2)-a³]]-(2πa³/3)sin³2βcotβ
=πa³[sin²2β-(2/3)[cos³2β-1]]-(2πa³/3)sin³2βcotβ
=(πa³/3){3sin²2β-2cos³2β+2-2sin³2βcotβ}
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