Question

概率论问题：设X,Y是相互独立的随机变量，都服从标准正态分布N(0,1),Z=X+Y的概率密度

设X,Y是相互独立的随机变量，都服从标准正态分布N(0,1),Z=X+Y的概率密度

Answer 1

先求出f(x，y)的联合概率密度，对联合概率密度积分

求EZ和EZ平方，利用极坐标变换和伽玛函数求积分值

E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0，X与Y相互独立，有D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2

^令Z的分布函数为G(t)记D={(x,y): y/x<=t}, A={(x,y): x>0, y<=xt}，A={(x,y): x<0，y>=xt}

则D=Au B

G(t)=P(Z<=t)=SS_D p(x)p(y)dxdy=SS_A p(x)p(y)dxdy+SS_B p(x)p(y)dxdy

=S_0^正无穷p(x)dx S_0^(xt) p(y)dy+S_(负无穷)^0 p(x)dx S_(xt)^(正无穷) p(y)dy

这里S表示积分符号，SS表示双重积分，例如S_(负无穷)^0表示从负无穷到0的积分。

p(x)，p(y)表示标准正态分布的密度函数。

扩展资料：

有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述。例如对地面目标射击，弹着点的位置需要两个坐标才能确定，因此研究它要同时考虑两个随机变量，一般称同一概率空间(Ω,F,p)上的n个随机变量构成的n维向量X=(x1,x2,…，xn)为n维随机向量。

随机变量可以看作一维随机向量。称n元x1,x2,…，xn的函数为X的(联合)分布函数。又如果(x1,x2)为二维随机向量，则称x1+ix2(i2=-1)为复随机变量。

参考资料来源：百度百科-概率密度

Answer 2

先求出f(x，y)的联合概率密度

对联合概率密度积分

求EZ和EZ平方

利用极坐标变换和伽玛函数求积分值

过程如下：

追问

老哥，你这是Z=（X2+Y2）0.5次方吧，而且求得还是期望