Question

关于概率论的一个问题，E(AB)=E[E(AB|B)]=E[BE(A|B)],后面两步怎么推导出来

关于概率论的一个问题，E(AB)=E[E(AB|B)]=E[BE(A|B)],后面两步怎么推导出来的？

E(AB)=E[E(AB|B)]=E[BE(A|B)],后面两步怎么推导出来的？

Answer 1

第一步是条件概率里的一个结论：E(E(X|Y))=E(X),这里B是Y， AB是X；
第二步是因为给定B了之后B就不再是随机的了。比如E(AB|B=3)=E(3A|B=3)=3E(A|B=3),所以有E(AB|B)=BE(A|B)，这叫做“可以把已知的东西拿到外面来”。
最后结果里内层的E(AB|B)是条件期望，要用条件概率算，算完之后是关于B的一个随机变量；外层的E(BE(A|B))则是用B的概率分布算。