Question

大一高数定积分问题求解呀？

求助求助呀～谢谢大佬们

Answer 1

分享一种解法，利用换元法和恒等式“t∈R时，arctant+arctan(1/t)=π/2”求解【设y=arctant+arctan(1/t)，两边对t求导，易证】。
设原式=I、设x=-y。∴I=∫(-π/2,π/2)cosyarctan[e^(-y)]dy。与未换元的I相加，∴2I=(π/2)∫(-π/2,π/2)cosxdx。
∴原式=π/2。
供参考。

追问

想问下如何证明出arctanx＋arctan1/x ＝π/2呢？求导是什么意思

追答

设f(x)=arctanx＋arctan(1/x )。两边对x求导，有f'(x)=0。故，x∈R时，f(x)为常数。不妨令x=1，得f(x)=f(1)=π/2。∴arctanx＋arctan(1/x )=π/2。