Question

问一道线代题

最后是C的k次方

Answer 1

A = λE + P, 其中 P =
[0 1 1]
[0 0 1]
[0 0 0]
则 P^2 =
[0 0 1]
[0 0 0]
[0 0 0]
P^n = O (n≥3)
A^k = (λE+P)^k = λ^kE + kλ^(k-1)P + [(1/2)k(k-1)]λ^(k-2)P^2
+ [k(k-1)(k-2)/3!]λ^(k-3)P^3 + ...... =
[λ^k, kλ^(k-1), (1/2)k(k-1)λ^(k-2)]
[0, λ^k, kλ^(k-1)]
[0, 0, λ^k]
B^2 =
[5 0]
[0 -5]
k 为偶数时， B^k =
[5^(k/2) 0]
[0 (-5)^(k/2)]
k 为奇数时，k-1 是偶数，
B^k = BB^(k-1) =
[2×5^(k-1)/2 (-5)^(k-1)/2]
[5^(k-1)/2 -2×(-5)^(k-1)/2]
α =(1 2 3), β =(1 1 1), βα^T = 6.
C = α^T β,
C^k = α^T β α^T β α^T β ...... α^T β α^T β
= α^T (β α^T) (β α^T) (β ...... α^T) (β α^T) β
= α^T 6^(k-1) β = 6^(k-1)α^Tβ
C^k = 6^(k-1)*
[1 1 1]
[2 2 2]
[3 3 3]

Answer 2

Aα1=1α1=α1
Bα1=A^5α1-4A^3α1+α1=α1-4α1+α1=-2α1
因此α1是B的特征向量
则-2是B的1个特征值
同理，设A后两个不同特征值相应特征向量是α2，α3，
则α2，α3也是B的另两个特征值相应的特征向量，即是题中所要求的。
B的另外两个特征值是2^5-4*2^3+1=1
(-2)^5-4(-2)^3+1=1
实对称矩阵A不同特征值相应特征向量α1，α2，α3显然线性无关的，且是正交的。
则不妨取与α1正交的两个向量（0，1，1）^T, ( 2，1，-1）^T
即是所要求的特征向量