Question

考研数学中值定理证明题？

第二题怎么计算

Answer 1

构造辅助函数，F'(x)=f(x)f''(x)+(f'(x))^2，F(x)=f(x)·f'(x)

我们目的是，证明F（x）在三个不同的点是取相同的值的，
从而可用罗尔定理证F’（x）有两个不同的零点
即f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0有两个零点

想想这道题有过哪些特殊点，
我们通过第一题已知f（η）=0，那么很容易想到，让F(x)=0
F(η)=f(η)·f'(η)=0，

还有没有点0？
这题有一个陷阱，就是f(0)=0，而不是<0。
极限存在必有限，f(x)=f(x)/x ·x ；有界×无穷小=0
（其实不难理解，f(x)必须是x的同阶无穷小，哪怕找个f(x)=x验证下也就不会错得f(0)<0了。）
所以F(0)=f(0)·f'(0)=0

前面我们两个F(x)=0都是用了f(x)=0，f’(x)还没用到，一般地，题目会让f’(x)也能得0
因为f(0)=f(η)，故有f'(ξ)=0, F(ξ)=0, 0<ξ<η
因为F(0)= F(ξ)=0,故有F’（a）=0，a∈(0,ξ)包含于（0,1）
因为F(ξ)= F(η)=0,故有F’（b）=0，b∈(ξ,η)包含于（0,1）
即f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0有两个零点a,b∈（0,1）