Question

求xy'-y=根号下y²-x²的通解"

答案分x＞0和x＜0，为什么?有什么关系呢？

Answer 1

这是微分齐次方程的求解，关键在于除以x时，根式的正负问题，而在另外一位朋友的回答中，未给定y与x的关系时，设x是y的一次函数是不合适的，故他的结果也错了

Answer 2

当然还是因为有绝对值的式子在里面
y'-y/x-√(y²/x²-1)=0
设y=xt,则y'=xt'+t
代入方程得xt'-√(t²-1)=0
于是dt/√(t²-1)=dx/x
积分得到ln(t+√(t²-1))=ln|x|+ln|C| (C是积分常数)
于是代入为y/x+√(y²/x²-1)=|Cx|
那么x>0时，等式两边乘以x，x *√(y²/x²-1)=√(y²-x²)
得到通解是y+√(y²-x²)=Cx²，C>0
同理x<0时，x *√(y²/x²-1)= -√(y²-x²)
通解是y-√(y²-x²)=Cx² ，C<0