Question

如图，初中数学？

如图，初中数学，∠a=2∠b，∠adc=60°，ad=bd，证明∠c=90°

Answer 1

偶见此题，距离中学已经过去10年，竟用了2小时，顺带查询了下相关公式，做出来了。

首先作辅助线，由C向AB作垂线，交于H。

然后在长度方面假设CD=2a，AD=BD=b

由于∠ADC=60°，基于sin∠ADC=CH/CD=√3/2，有CH=√3a，类似的有DH=a

再看tan方面，有：

tan∠A=CH/AH=√3a/(b-a)【公式1】

tan∠B=CH/BH=√3a/(b+a)【公式2】

由于∠A=2∠B，根据tan的二倍角公式，有：

tan2x=2tanx/(1-tan²x），将公式1和公式2代入，

激动地解出b=2a，即中线的长度为AB边的一半，有AD=BD=CD。

从此万事大吉。

（AD=CD，有∠ADC=60°，所以∠A=60°，并根据∠A=2∠B，所以∠B=30°，自然有∠ACB=90°）

证毕！

【回头想了想我怎么用了这么久，发现：一个是初中的三角函数倍角公式早就忘光了，一开始在想用熟悉的sin、cos来解，甚至用带三角函数的三角形面积公式来解，包括用解析几何来解，都因为太麻烦而放弃；另一个是没有将两角关系和中线分割底边两段长度相等的关系结合到一起，要知道，如果单独只用角或者只用边的关系是证不出来的。我不是老师，高考也不怎样，但是个人建议，对于这类初中题目，建议学生加强三角函数计算的学习，以及如何将题目中的条件联合使用的想法。】

【个人没有解出纯粹几何学意义上的解法，希望有人知道可以告诉我，谢谢！】

Answer 2

解：因为<A D C=<DB C+<BCD
<D B C=<ADC-<BC D=60-30=30度。(三角形一个外角等于两个不相邻的内角和)
所以D B=DC(等角对等边)
且AD=BD(已知)
所以D A=DC
所以<AC D=60度(顶角是60度的等腰三角形是等边三角形。
所以<A CB=<AC D+<D C B=60+30=90度