Question

如下图，以AB为直径的半圆C交y轴于点P,设A（-1，0），B（4，0）。

Answer 1

(1)设OP=x，AB＝5，AP＝√(1+x^2)
PB=√(16+x^2)

三角形ABP面积＝AP*PB/2=OP*AB/2

√(1+x^2) ×√(16+x^2)/2＝5x/2

x^4+17x^2+16=25x^2

x^4-8x^2+16=0

(x^2-4)^2=0

x^2=4

x=2

P坐标为（0，2）

（2）由于抛物线经过AB及P，故可设抛物线方程为：y=a(x+1)(x-4)

把P坐标代入得：2=a(0+1)(0-4)
2=-4a
a=-1/2

抛物线方程为：y=－(x+1)(x-4)/2

(3)到底是角平分线还是垂直平分线？

Answer 2

(1)AC=BC=1/2AB=5/2，则OC=3/2

∴OP=√(CP²-OC²)=√(25/4-9/4)=2

∴P(0，2)

(2)设
抛物线
的方程为y=a(x+1)(x-4)，代入P(0，2)，解得a=-1/2

∴
抛物线
方程为y=-(x+1)(x-4)/2=-x²/2+3x/2+2

(3)连接BD，则∠ADB=90°

又∵E在AP的
垂直平分线
上，则AE=EP

设OE=t，则EP=2-t=AE

∴在Rt△AOE中，(2-t)²=t²+1，解得t=3/4

∴OE=3/4，则AE=5/4

∵△AOE∽△ADB，则AE/AB=OA/AD，解得AD=2

∴OM=AD/2=1，则M(-1，0)

设过M的
直线方程
为y=kx+b，代入M，得b=k

∴过M的
直线方程
为y=kx+k，代入
抛物线
方程，得kx+k=-x²/2+3x/2+2

整理，得x²+(2k-3)x+2k-4=0

∵直线与
抛物线
的两个交点到y轴的距离相等

∴x1+x2=3-2k=0，解得k=3/2

又∵△=4k²-12k+9-8k+16=4k²-20k+25=(2k-5)²≥0

∴k=3/2满足题意

∴过M的
直线方程
为y=3x/2+3/2，整理为3x-2y+3=0