Question

求反常积分

作业帮上有这道题的解答，但我觉得答案很奇怪，照着解解不出来，也看不懂。所以还是希望大神解答，求过程。

Answer 1

用分部积分法和“凑”积分求解，其过程是，
∵∫(0,∞)sin²xdx/x²=(-1/x)sin²x丨(x=0,∞)+∫(0,∞)sin2xdx/x=∫(0,∞)sin2xdx/x，
∴原式=∫(0,∞)sin2xd(2x)/(2x)=π/2。
供参考。

追问

看不懂第一步的分部积分后面一半😂

追答

∫(0,∞)sin²xdx/x²=∫(0,∞)sin²xd(-1/x)，d(sin²x)=2sinxcosxdx=sin2xdx。

追问

谢谢～

追答

不客气。就简单的“凑”∫(0,∞)sin2xdx/x=→∫(0,∞)sin2xd(2x)/(2x)=π/2，理解应该不太难。

Answer 2

∫(0->+∞) (sinx)^2/x^2  dx

= -∫(0->+∞) (sinx)^2  d(1/x)

=- [ (sinx)^2/x ] |(0->+∞) + ∫(0->+∞) 2sinx.cosx/x  dx

=0 + ∫(0->+∞) sin2x/x   dx

=∫(0->+∞) [sin2x/(2x) ]   d(2x)

u=2x

=∫(0->+∞) sinu/u   du

=π/2

追问

我也看不懂第二步分部积分的后半部分😂

追答

=- [ (sinx)^2/x ] |(0->+∞) + ∫(0->+∞) (1/x) d(sinx)^2
=0 +∫(0->+∞) (1/x) (2sinx)(cosx) dx
=∫(0->+∞) [sin2x/x ] dx ( sin2x = 2sinx.cosx )
=∫(0->+∞) [sin2x/(2x) ] d(2x)
=∫(0->+∞) [sinu/u ] du
=π/2

追问

十分感谢～