Question

（线性代数）矩阵特征值之积等于行列式值？

1、为什么方阵特征值之积等于行列式值？
2、为什么方阵的对角元素之和等于特征值和？
烦请高人给出证明过程或较易理解说明。

Answer 1

矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积。

^|λE-A|=

|λ-a11 -a12 ...-a1n|

|-a21 λdao-a22....-a2n|

|....................|

|-an1 -an2....λ-ann|

=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)

λ^n-(a11+a22+...+ann)λ^(n-1)+...+(-1)|A|

=λ^n-(λ1+λ2+...+λn)λ^(n-1)+...+(-1)λ1λ2...λn

比较同次幂的系数可得上述结论。

方阵特征值之积等于行列式值也可以如下这样理解，因为矩阵可以化成对角元素都是其特征值的对角矩阵，而行列式的值不变，对角矩阵的行列式就是对角元素相乘。

扩展资料：

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

参考资料来源：百度百科-行列式

Answer 2

|λE-A|=

|λ-a11 -a12 ...-a1n|
|-a21 λ-a22....-a2n|
|....................|
|-an1 -an2....λ-ann|
=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)

λ^n-(a11+a22+...+ann)λ^(n-1)+...+(-1)|A|
=λ^n-(λ1+λ2+...+λn)λ^(n-1)+...+(-1)λ1λ2...λn
比较同次幂的系数可得上述结论!!!

方阵特征值之积等于行列式值也可以如下这样理解
因为矩阵可以化成对角元素都是其特征值的对角矩阵，而行列式的值不变，对角矩阵的行列式就是对角元素相乘。

Answer 3

矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积。