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基本思想是换元
再利用公式 (uv)'=u'v+uv'得到 ∫udv=uv- ∫vdu
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let
u=1+e^x
du = e^x dx
∫ ln(1+e^x) /e^x dx
=∫ ln(1+e^x) de^(-x)
=-e^(-x). ln(1+e^x) +∫ e^(-x) dln(1+e^x)
=-e^(-x). ln(1+e^x) +∫ e^(-x) [e^x/(1+e^x) ] dx
=-e^(-x). ln(1+e^x) +∫ dx/(1+e^x) ]
=-e^(-x). ln(1+e^x) +∫ du/[u(u-1) ]
=-e^(-x). ln(1+e^x) +∫ [1/(u-1) -1/u] du
=-e^(-x). ln(1+e^x) +ln|(u-1)/u| + C
=-e^(-x). ln(1+e^x) +ln|e^x/(1+e^x)| + C
=-e^(-x). ln(1+e^x) +x - ln|1+e^x| + C
u=1+e^x
du = e^x dx
∫ ln(1+e^x) /e^x dx
=∫ ln(1+e^x) de^(-x)
=-e^(-x). ln(1+e^x) +∫ e^(-x) dln(1+e^x)
=-e^(-x). ln(1+e^x) +∫ e^(-x) [e^x/(1+e^x) ] dx
=-e^(-x). ln(1+e^x) +∫ dx/(1+e^x) ]
=-e^(-x). ln(1+e^x) +∫ du/[u(u-1) ]
=-e^(-x). ln(1+e^x) +∫ [1/(u-1) -1/u] du
=-e^(-x). ln(1+e^x) +ln|(u-1)/u| + C
=-e^(-x). ln(1+e^x) +ln|e^x/(1+e^x)| + C
=-e^(-x). ln(1+e^x) +x - ln|1+e^x| + C
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第二步看不懂😅
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