高数。求微分方程y''+4y'=8的通解。要详解?
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特征方程为:
r2+4r=0
r(r+4)=0
所以r1=0,r2=-4.
则y*=c1e^0+c2e^-4x
=c1+c2e^-4x
设y1=ax,
则y1'=a, y''=0
所以0+4a=8,即a=2
所以方程的通解为:y=c1+c2e^-4x+2x。
微分方程研究的来源:
它的研究来源极广,历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时,指出了它们的互逆性,事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时,微分方程就大量地涌现出来。
牛顿本人已经解决了二体问题:在太阳引力作用下,一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点,得到3个未知函数的3个二阶方程组,经简单计算证明,可化为平面问题,即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法,完全解决了它的求解问题。
17世纪就提出了弹性问题,这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之,力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程(特别是方程组)。
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特征方程为:
r2+4r=0
r(r+4)=0
所以r1=0,r2=-4.
则y*=c1e^0+c2e^-4x
=c1+c2e^-4x.
设y1=ax,
则y1'=a,
y''=0.
所以0+4a=8,即a=2.
所以方程的通解为:y=c1+c2e^-4x+2x.
r2+4r=0
r(r+4)=0
所以r1=0,r2=-4.
则y*=c1e^0+c2e^-4x
=c1+c2e^-4x.
设y1=ax,
则y1'=a,
y''=0.
所以0+4a=8,即a=2.
所以方程的通解为:y=c1+c2e^-4x+2x.
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