Question

高一数学题 1已知a.b.c>0求证:(b+c)(c+a)(a+b)>=8abc 2求证：a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca

Answer 1

你好！！！

1、

a>0,b>0,c>0
由均值不等式有
a+b>=2根号ab
b+c>=2根号bc
c+a>=2根号ca
三式相乘得
(a+b)(b+c)(c+a)>=8根号(a²b²c²)=8abc
当a=b=c时不等式取等号； 2、a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)
=1/2(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2)
=1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
祝你学业进步！！！！

Answer 2

1

(b+c)(c+a)(a+b)

>=2根号（bc）
2根号（ca）
2根号（ab）

=8根号(abc)^2

=8abc

等号成立，当且仅当a=b=c

2

方法1

a^2+b^2>=2ab

b^2+c^2>=2bc

c^2+a^2>=2ca

加之，除以2，得到a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca

方法2

a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)

=(1/2)[2a^2+2b^2+2c^2-(2ab+2bc+2ca)]

=(1/2)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)>=0

等号成立，当且仅当a=b=c