Question

求下列一阶线性微分方程的通解

Answer 1

先求对应的齐次方程y'=-2xy
dy/y = -2xdx
ln|y|=-x²+C
即y=C e^(-x²)
由常数变易法，令
y=C(x)e^(-x²)
则y'=C'(x)e^(-x²) -2x C(x)e^(-x²)
代入原方程得
C'(x)=2x
C(x)=x²+C
故原方程的通解为
y=(x²+C) e^(-x²)

Answer 2

（2）解：∵由齐次方程y'=-2xy
==>dy/y=-2xdx
==>ln∣y∣=-x²+ln∣C∣ (C是积分常数)
==>y=Ce^(-x²)
∴此齐次方程的通解是y=Ce^(-x²)
于是，由常数变易法，设原方程的解为y=C(x)e^(-x²) (C(x)是关于x的函数)
代入原方程，化简得 C'(x)=2x ==>C(x)=x²+C (C是积分常数)
==>y=C(x)e^(-x²)=(x²+C)e^(-x²)
故 原方程的通解是 y=(x²+C)e^(-x²)。

Answer 3

如图所示：

Answer 4

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