Question

释迦牟尼佛和阿弥陀佛之间有什么关系？

燃灯古佛呢？弥勒佛呢？

Answer 1

佛有很多称号，这只是其中的两个。

Answer 2

释迦牟尼佛就是佛祖， 也就是2500年以前，年轻时为迦毗罗卫国的王子，阿弥陀佛是佛祖劝我们念诵的一位佛的佛号，因为阿弥陀佛曾发下称名往生极乐净土的大愿，如果不愿往生净土，至少应该持五戒，或者修集其它转生为人的正因，但是我们这辈子应该清楚我们这一生怎么过的，能亲近到多少圣众？再生为人，以我现在的见地来讲，没必要，而且婴儿、童年时期智力不通，耽误学习时间，若往生极乐净土，则能得到更好的学习佛法的环境。
根据无量寿经记载，阿弥陀佛的老师世自在王佛为其前世示以二百一十亿诸佛妙土清净之行后，发愿建立了极乐净土，今已成佛满愿。
以下学习佛经内容:
佛告辩意。复有五事得生人中。何谓为五。一者布施。恩润贫穷。二者持戒。不犯十恶。三者忍辱。不乱众意。四者精进。劝化懈怠。五者一心。奉孝尽忠。是为五事。得生人中大富长寿端正威德。得为人主一切敬侍。（乾隆大藏经《佛说辩意长者子所问经》）
若有善男子、善女人，闻说阿弥陀佛，执持名号，若一日、若二日、若三日、若四日、若五日、若六日、若七日，一心不乱。其人临命终时，阿弥陀佛与诸圣众，现在其前，是人终时心不颠倒，即得往生阿弥陀佛极乐国土。舍利弗，我见是利故说此言。若有众生闻是说者，应当发愿生彼国土。——世尊（乾隆大藏经《佛说阿弥陀经》姚秦三藏法师鸠摩罗什译）
其国众生无有众苦，但受诸乐，故名极乐。——佛（乾隆大藏经《佛说阿弥陀经一卷》）
设我得佛，国中菩萨，承佛神力供养诸佛，一食之顷不能遍至无数无量亿那由他诸佛国者，不取正觉。——阿弥陀佛过去生、法藏菩萨（乾隆大藏经《佛说无量寿经二卷》）

Answer 3

横三世佛（或许是按照凡夫的方位观念划分），即中间的释迦牟尼佛（主管我们现在所处的娑婆世界），右边的药师佛（主管东方净琉璃世界），左边的阿弥陀佛（掌管西方极乐世界）。竖三世佛，三世指过去(前世、前生)、现生(现世、现生)、未来(来世、来生)三世。正中为现在佛，即释迦牟尼佛；左侧为过去佛，即燃灯佛；右侧为未来佛，即弥勒佛。其中的释迦牟尼佛位居中央也是横三世佛的核心。“竖三世”和“横三世”共同构成了佛教的核心体系，使之成为一个完整的教派。
诸佛在法身层面上是同一尊佛，没有分别。深入来讲佛与我们，与整个宇宙（一切众生和万物）都是一体的存在。
个人浅见，仅供参考。