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一道数学题,求解
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8.C
【解析】:
∵作轴截面如图所示。
又∵OD=r,PC=3r。
∴PD=2r,
∴∠CPB=30°。
∵在Rt△CPB中,
∴BC=PC·tan 30°=√3/3·3r=√3r,
∴PB=BC/sin 30°=√3r /1/2=2√3r。
又∵圆锥侧面积:
∴S1=π·BC·PB=6πr²,
∴球的表面积S2=4πr²,
∴S1:S2=3:2。
∴故选C。
【答案】:C
9.D
【解析】:
∵设球的半径为r,
∴则V水=8πr²,
∴V球=4πr³,
又∵加入小球后,液面高度为:
∴6r,
∴πr²·6r=8πr²+4πr³,
∴解得:r=4。
∴故选D。
【答案】:D
10.√3/54π
【解析】:
∵如图,AE⊥平面BCD,
又∵设O为正四面体A-BCD内切球的球心,
∴则OE为内切球的半径,
∵设OA=OB=r,
又∵正四面体A-BCD的棱长为√2,
∵在等边△BCD中,
∴BE=√6/3,
∴AE=√2-6/9=2√3/3。
又∵由OB²=OE²+BE²,
∴得:R²=(2√3/3-R²)+2/3,
∴解得:R=√3/2,
∴OE=AE-R=√3/6,
∴即内切球的半径是√3/6。
∴内切球的体积为4/3π×(√3/6)³=√3/54π。
【答案】:√3/54π
11.(2√6/3)+4
【解析】:
∵由题意,如图所示,在正四面体S-ABC的底面上放三个钢球,上面再放一个钢球时,正四面体的高最小,且连接小钢球的球心又得到一个棱长为2的正四面体M-NEF,且两个正四面体的中心重合于点O,
又∵取△NEF的中心点O1,
∵连接NO1,
∴则NO1=2√3/3。
∴MO1=√4-4/3=2√6/3。
∵由正四面体的性质知其中心点O与O1的距离:
∴OO1=1/4 MO1=√6/6。
又∵从而OO2=OO1+1=√6/6+1。
∴故正四面体的高的最小值为:
∴4OO2=(2√6/3)+4
【答案】:(2√6/3)+4
8.C
【解析】:
∵作轴截面如图所示。
又∵OD=r,PC=3r。
∴PD=2r,
∴∠CPB=30°。
∵在Rt△CPB中,
∴BC=PC·tan 30°=√3/3·3r=√3r,
∴PB=BC/sin 30°=√3r /1/2=2√3r。
又∵圆锥侧面积:
∴S1=π·BC·PB=6πr²,
∴球的表面积S2=4πr²,
∴S1:S2=3:2。
∴故选C。
【答案】:C
9.D
【解析】:
∵设球的半径为r,
∴则V水=8πr²,
∴V球=4πr³,
又∵加入小球后,液面高度为:
∴6r,
∴πr²·6r=8πr²+4πr³,
∴解得:r=4。
∴故选D。
【答案】:D
10.√3/54π
【解析】:
∵如图,AE⊥平面BCD,
又∵设O为正四面体A-BCD内切球的球心,
∴则OE为内切球的半径,
∵设OA=OB=r,
又∵正四面体A-BCD的棱长为√2,
∵在等边△BCD中,
∴BE=√6/3,
∴AE=√2-6/9=2√3/3。
又∵由OB²=OE²+BE²,
∴得:R²=(2√3/3-R²)+2/3,
∴解得:R=√3/2,
∴OE=AE-R=√3/6,
∴即内切球的半径是√3/6。
∴内切球的体积为4/3π×(√3/6)³=√3/54π。
【答案】:√3/54π
11.(2√6/3)+4
【解析】:
∵由题意,如图所示,在正四面体S-ABC的底面上放三个钢球,上面再放一个钢球时,正四面体的高最小,且连接小钢球的球心又得到一个棱长为2的正四面体M-NEF,且两个正四面体的中心重合于点O,
又∵取△NEF的中心点O1,
∵连接NO1,
∴则NO1=2√3/3。
∴MO1=√4-4/3=2√6/3。
∵由正四面体的性质知其中心点O与O1的距离:
∴OO1=1/4 MO1=√6/6。
又∵从而OO2=OO1+1=√6/6+1。
∴故正四面体的高的最小值为:
∴4OO2=(2√6/3)+4
【答案】:(2√6/3)+4
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解,设球半径为R,则3个球的体积为4πR3,8cm高的水体积为8πR2,又因为水刚没过球,此时圆柱的体积为6RⅹπR2=6πR3,所以4πR3+8πR2=6πR3
2πR3=8πR2
R3=4R2
R=4(cm)
2πR3=8πR2
R3=4R2
R=4(cm)
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答案为D
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设球半径为r,那么三个球的体积+水的体积=圆柱的体积。
根据:V 球=4/3πr^3,V 圆柱=hπr^2,h=8cm(未放球的水面高度).
列式得:3×4/3πr^3+πr^2×8=πr^2×6r,
6r=3个的球的直径,即3x2r,亦为放入三个球以后圆柱体水面的高度。
解得r=4.
故答案为:4cm
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选择D,r为4!利用体积相等进行计算!
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