Question

(2x^3+4x+1)/(x^2+x+1) 积分 怎么 拆项分解

(2x^3+4x+1)/(x^2+x+1) 积分 怎么 拆项分解 有什么技巧吗

Answer 1

2x^3+4x+1
=2x.(x^2+x+1) -2x^2+2x+1
=2x.(x^2+x+1) -2(x^2+x+1) +4x+3
=2x.(x^2+x+1) -2(x^2+x+1) +2(2x+1) + 1
/
x^2+x+1 = (x+1/2)^2 +3/4
let
x+1/2= (√3/2)tanu
dx =(√3/2)(secu)^2 du
∫(2x^3+4x+1)/(x^2+x+1) dx

=∫ [ 2x -2 + 2(2x+1)/(x^2+x+1) + 1/(x^2+x+1) ] dx
=x^2-2x +2ln|x^2+x+1| + ∫ dx/(x^2+x+1)
=x^2-2x +2ln|x^2+x+1| + ∫ (√3/2)(secu)^2 du/[(3/4)(secu)^2]
=x^2-2x +2ln|x^2+x+1| + (2√3/3)∫ du
=x^2-2x +2ln|x^2+x+1| + (2√3/3)u + C
=x^2-2x +2ln|x^2+x+1| + (2√3/3)arctan[(2x+1)/√3] + C