Question

这题幂级数的和函数怎么求？给下详细过程，谢谢🙏。

Answer 1

详细过程可以是，设S(x)=∑[x^(2n-1)]/(2n-1)，n=1,2，……。显然，S(x)的收敛区间为x²<1，S(0)=0。
由S(x)两边对x求导、在其收敛区间内，有S'(x)=∑x^(2n-2)=1/(1-x²)=(1/2)[1/(1-x)+1/(1+x)]。
两边对x积分，有S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]，即∑[x^(2n-1)]/(2n-1)=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]，其中-1<x<1。
供参考。

Answer 2

逐项求导，求和后再积分。