Question

如图2,已知AB||CD,∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE,若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°。求∠ABE的度数

Answer 1

（1）答：ab∥cd．
证明：∵∠1=∠2，
∴ab∥cd；
2）解：设∠abf=x，则∠ebf=2x，
∴∠abe=∠abf+∠ebf=x+2x=3x，
根据三角形的内角和定理可得，∠e+∠ebf=∠f+∠ecf，
根据三角形的外角性质，∠1=∠e+∠abe=∠e+3x，
∵ab∥cd，
∴∠1=∠dce，
∵cf平分∠dce，
∴∠ecf=12∠dce=12∠1=12（∠e+3x），
∴∠e+2x=∠f+12（∠e+3x），
整理得，2∠f-∠e=x①，
∵∠f的2倍与∠e的补角的和为190°，
∴2∠f+180°-∠e=190°②，
①代入②得，x+180°=190°，
∴x=10°，
∴∠abe=3x=30°；
（3）解：如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠bpg+∠b，
∵pq平分∠bpg，gm平分∠dgp，
∴∠gpq=12∠bpg，∠mgp=12∠dgp，
∵ab∥cd，
∴∠1=∠dgp，
∴∠mgp=12（∠bpg+∠b），
∵pq∥gn，
∴∠ngp=∠gpq=12∠bpg，
∴∠mgn=∠mgp-∠ngp=12（∠bpg+∠b）-12∠bpg=12∠b，
根据前面的条件，∠b=30°，
∴∠mgn=12×30°=15°，
∴①∠dgp-∠mgn的值随∠dgp的变化而变化；②∠mgn的度数为15°不变

Answer 2

（2）解：
在图中标注：BF与CE的交点为G
∠CGF＝∠BGE
∵AB||CD，∴∠DCF＝∠F
CF平分∠DCE，∠ECF＝∠DCF＝∠F
2∠F＝180－∠CGF＝180－∠BGE
∠E的补角＝180－∠E＝∠EBF+∠BGE
2∠F+∠E的补角＝190
180－∠BGE+∠EBF+∠BGE＝190
∠EBF＝10
∵∠EBF=2∠ABF
∠ABE＝∠EBF+∠ABF＝10+5＝15度