Question

样本均值服从正态分布，能推出总体服从正态分布吗？

Answer 1

注意，样本的分布和样本均值的分布是不一样的。样本均值的抽样分布是所有的样本均值形成的分布，即μ的概率分布。样本均值的抽样分布在形状上是对称的。随着样本量n的增大，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，其分布的数学期望为总体均值μ，方差为总体方差的1/n。这就是中心极限定理（centrallimittheorem）。
所以，根据中心极限定理，即使样本均值的分布服从正态分布，也不能推出总体服从正态分布。从数理统计原理上来说，总体正态可以推得均值正态，倒过来不成立。
但是实际工作中，只要样本容量
n足够大(通常要求n
≥30或n
≥100)，样本的分布服从正态分布，则可以认为总体服从正态分布。实际研究中，总体的数量都是很大的，其分布一般也都是未知的，只能通过抽样分析去推断总体分布。一般来说，样本数足够大时，当样本的分布服从正态分布时，统计推断上可以说总体服从正态分布。

Answer 2

样本均值服从正态分布，能推出总体服从正态分布吗？不能
任何分布，只要样本的数量足够大,样本均值都是服从正态分布