Question

如图,在梯形ABCD中,AB‖DC,点M,N分别为CD,AB的中点,且MN⊥AB,试问:梯形ABCD是等腰梯形吗？

Answer 1

方法一：
连结AM、BM。
∵AN＝BN、MN⊥AB，∴MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴∠AMN＝∠BMN。
∵AB∥DC、MN⊥AB，∴MN⊥CD，结合证得的∠AMN＝∠BMN，得：∠AMD＝∠BMC。
由DM＝CM、AM＝BM、∠AMD＝∠BMC，得：△AMD≌△BMC，∴AD＝BC，
∴ABCD是等腰梯形。
方法二：
过C、D分别作AB的垂线，垂足分别是E、F。
∵FE∥DC、DF⊥FE、CE⊥FE、MN⊥FE，∴CMNE、DMNF都是矩形，
∴DF＝MN＝CE，DM＝FN、CM＝EN，而DM＝CM，∴FN＝EN，又AN＝BN，∴AF＝BE。
由DF＝CE、AF＝BE、∠DFA＝∠CEB＝90°，得：△ADF≌△BCE，∴AD＝BC，
∴ABCD是等腰梯形。