Question

用柯西不等式解的数学证明题

Answer 1

柯西不等式的一般证法有以下几种:■①cauchy不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai,
bi,则有
(∑ai^2)
*
(∑bi^2)
≥
(∑ai
*
bi)^2.
我们令
f(x)
=
∑(ai
+
x
*
bi)^2
=
(∑bi^2)
*
x^2
+
2
*
(∑ai
*
bi)
*
x
+
(∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x)
≥
0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有
δ
=
4
*
(∑ai
*
bi)^2
-
4
*
(∑ai^2)
*
(∑bi^2)
≤
0.
于是移项得到结论。
■②用向量来证.
m=(a1,a2....an)
n=(b1,b2....bn)
mn=a1b1+a2b2+....+anbn=(a1^+a2^+....+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+....+bn^)^1/2乘以cosx.
因为cosx小于等于0,所以:a1b1+a2b2+....+anbn小于等于a1^+a2^+....+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+....+bn^)^1/2
这就证明了不等式.柯西不等式还有很多种,这里只取两种较常用的证法.